Numéro 94

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Description

  • Forum
  • Textes en questions
  • Une nouvelle formule de nombres premiers : Après une célèbre formule d’Euler, cette nouvelle formule de nombres premiers semble donner des résultats meilleurs que les autres formules analogues.
  • Envers et contre-exemples – les espaces métriques : Dans cet article, l’auteur revient sur l’introduction en mathématiques des espaces métriques.
  • Commutant de deux matrices : Étant donné deux matrices carrées A et B de taille n, on s’intéresse à l’ensemble des matrices carrées P telles que AP = PB, que nous désignerons par le commutant de (A,B). Cet ensemble généralise le commutant d’une matrice et intervient naturellement dans l’étude des matrices semblables. Nous nous intéressons d’abord aux conditions sur A et B pour que cet ensemble contienne une matrice de rang r fixé entre 1 et n, en établissant en particulier une CNS lorsque r = 1. Nous donnons ensuite des encadrements de la dimension du commutant de (A,B), en distinguant notamment les cas où A et B sont semblables ou non.
  • Majorité absolue : Dans cette courte note, on présente les différents algorithmes de “majorité absolue” qui déterminent si dans une liste donnée, il existe un élément qui apparaît avec une fréquence strictement supérieure à 50% .
  • Le procédé générateur : On introduit ici la notion de procédé générateur, à travers deux applications : matrices semblables dans un sur-corps et étude des matrices cycliques dans les sous-corps de C. Si K est un corps commutatif et L un sur-corps commutatif de K, on regarde L comme un K espace vectoriel. Si cet espace vectoriel est de dimension finie, alors on en a une base. Si cet espace vectoriel est de dimension infinie, on applique le procédé générateur : à un nombre fini de vecteurs de L, on associe une base du K espace vectoriel qu’ils engendrent. Parmi les corps usuels, C est un R espace vectoriel de dimension deux, puisque C = VectR{1, i}. Par contre R n’est pas un Q espace de dimension finie. On applique alors le procédé générateur à chaque famille de réels pour en obtenir une Q base.
  • La géométrie du triangle et l’optimisation convexe font bon ménage : Nous montrons dans ce travail comment la géométrie (classique) du triangle et l’optimisation Convexe (moderne) font bon ménage. Dans ce qui constitue l’essentiel de notre approche, nous revisitons les points particuliers du triangle, les plus connus du moins, à la seule lumière de l’optimisation. Nous montrons comment ils sont les solutions uniques de problèmes de minimisation dont les fonctions-objectifs sont définies à partir des distances aux côtés du triangle ou des distances aux sommets du triangle. Les fonctions-objectifs qui entrent en jeu sont toutes convexes, mais certaines sont non différentiables. Néanmoins, les conditions nécessaires et suffisantes d’optimalité en minimisation convexe sont applicables dans tous les cas, elles conduisent précisément à la caractérisation « variationnelle » des points familiers du triangle : isobarycentre, point de FERMAT, point de LEMOINE, centre du cercle inscrit, centre du cercle circonscrit, orthocentre. Deux autres problèmes d’optimisation liés au triangle complètent notre article.
  • Notes de lecture
  •  John Wallis : des “têtes rondes” aux intégrales : Dans notre précédent texte : Trigonométrie Lemniscatique et fonctions elliptiques, nous présentions les fonctions elliptiques sous le jour particulier des fonctions lemniscatiques découvertes par Abel. Ces dernières jouissaient de nombreuses propriétés mathématiques assez semblables à celles des fonctions circulaires. Ici nous rencontrerons d’autres fonctions elliptiques plus générales et nous étudierons leurs liens avec la géométrie et la mécanique.
  • Courbes elliptiques, Tores et Mécanique : Dans notre précédent texte : Trigonométrie Lemniscatique et fonctions elliptiques, nous présentions les fonctions elliptiques sous le jour particulier des fonctions lemniscatiques découvertes par Abel. Ces dernières jouissaient de nombreuses propriétés mathématiques assez semblables à celles des fonctions circulaires. Ici nous rencontrerons d’autres fonctions elliptiques plus générales et nous étudierons leurs liens avec la géométrie et la mécanique.
  • Le Coin des problèmes