Numéro 92

8,50 

Catégorie : Étiquettes : , ,

Description

  • Forum
  • Lettres du front : Pendant que la guerre ravage l’Europe, Einstein, devenu professeur à Berlin, se rend à l’académie des Sciences. Au cours de la séance, il explique les anomalies détectées expérimentalement dans la trajectoire de Mercure grâce à sa théorie de la gravitation. L’astronome Karl Schwarzschild participe à la discussion.
  • Envers et contre-exemples – les séries de Fourier : Cet article revient sur les séries de Fourier et leurs théorèmes de convergence.
  • Textes en questions
  • Une série divergente sommée par Euler : Nous exposons en détails une des méthodes imaginées par Euler pour sommer la série de terme général (-1)^{n-1}(n-1)!, et nous esquissons deux autres méthodes.
  • Distance maximale entre un point et un compact du plan (I) : Soit K un compact du plan. Pour chaque point A du plan, on définit \Omega(A) comme l’ensemble des points de K pour lesquels la distance à A est maximale. Puis, pour un point M de K, on étudie l’ensemble \gamma(M) des points A tels que M soit élément de \Omega(A). En particulier, on déterminer les cas où \gamma(M) est non vide, et on le décrit par de méthodes géométriques et topologiques. On montre que si \Omega(A) est un singleton pour tout A, alors K lui-même est un singleton : on obtient ainsi une preuve élémentaire, dans le plan euclidien, du Théorème des points les plus éloignés.
  •  Notes de lecture
  •  Billard dans une ellipse et théorème de Urqhart : Le but de ce petit texte est de présenter un résultat de géométrie élémentaire (peut-être pas très connu) et une preuve qui ne l’est pas autant mais qui me semble élégante. Alors que j’étais post-doctorant à l’Université de Genève, c’est Gerahrd Wanner qui m’a fait découvrir ce résultat (et sa preuve). Ses cours de Géométrie et d’Analyse Numérique restent pour moi des souvenirs incroyables de culture, de pédagogie et … d’humour !
  • La prédiction des longues suites de succès : Nous nous intéressons à une expérience aléatoire consistant à effectuer successivement n tirages à pile ou face, et à regarder la plus longue suite de faces consécutives obtenues. De manière assez incroyable, même lorsque n devient extrêmement grand, la longueur de cette plus longue suite de faces peut être prédite à une ou deux unités près avec une probabilité très proche de 1! Nous donnons quelques arguments mathématiques qui expliquent ce phénomène.
  •  Dénombrement des surjections et applications : On se propose ici de retrouver la formule explicite donnant le nombre de surjections entre deux ensembles finis, qui est lié de manière très simple au nombre de partitions d’un ensemble fini en p ensembles. Pour cela on fait le lien avec des calculs algébriques sur les polynômes, dans la base des polynômes dits factoriels. On utilise ensuite ce lien pour calculer la somme des puissances quelconques des premiers entiers, ainsi que les moments d’une loi de Poisson. On montre en particulier que le moment d’ordre n d’une loi de Poisson de paramètre 1 est exactement le énième nombre de Bell i.e. le nombre de partitions d’un ensemble à n éléments.
  •  Le Coin des problèmes