Numéro 115

8,50 

Le comité de lecture de QUADRATURE vous souhaite une bonne année 2020.
Vous retrouverez dans votre journal la suite de l’article de Patrick David (ENSEA) consacré à un sujet d’actualité : la cryptologie.  Ce deuxième volet traite du système de chiffrage AES et de sa programmation dans  le langage Python.
Les mathématiques plus classiques sont aussi plus présentes avec, par exemple, un grand article d’Alain Pichereau sur les suites de Fibonacci et leur généralisation. Nous vous proposons de nombreux autres articles, comme par exemple un aperçu  de l’histoire des mathématiques et de leur enseignement sous la forme d’un compte-rendu du congrès ICHME-6, organisé à Marseille par Evelyne Barbin.

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Description

Forum
Fête de la Science et des maths à Beaumont de Lomagne

Envers et contre-exemples par Bertrand HAUCHECORNE
Darboux et les fonctions discontinues.

Textes en questions :
Les textes empruntés à l’histoire des mathématiques font notre actualité.

Sixième conférence internationale sur l’histoire de l’enseignement mathématique par  Jean-Paul TRUC
Un compte rendu du congrès qui s’est tenu au CIRM à Marseille du 16 au 20 septembre 2019.

Sur l’incommensurabilité dans les polygones réguliers par Giuseppina ANATRIELLO, Francisco LAUDANO et Giovanni VINCENZI
Dans cet article, nous montrons, par un simple raisonnement trigonométrique, que « Le seul polygone régulier dont le côté est commensurable avec le rayon de la circonférence inscrite est l’hexagone » et que « Le seul polygone régulier dont le côté est commensurable avec le rayon de la circonférence circonscrite est le carré ». Nous étudions également la commensurabilité entre le côté et certaines diagonales d’un polygone régulier. Une analyse spéciale est consacrée au cas des heptagones réguliers, où nous prouvons que « deux éléments distincts parmi les côtés et les diagonales sont incommensurables ». 

Régularisation de la convergence d’une suite vers un point fixe par Pierre –Alain SALLARD
Un exercice classique consiste à prouver que la suite de réels définie par v1 > 0 et par la relation de récurrence vn+1 = 2+ 3vn converge vers le point fixe ℓ = 3 de la fonction f : x ∈ R∗+ 7→ 2+ 3x , mais que cette convergence n’est pas monotone : le signe de vn+1−vn change alternativement de signe. Nous mettons en évidence qu’une « perturbation » permet de régulariser le comportement de la convergence vers le point fixe : la suite définie par u1 > 0 et par la relation un+1 =(1+ 1n ) f (un) converge vers ℓ=3, tout en étant décroissante au moins à partir du rang n = 7. Ce résultat se généralise sous réserve que deux conditions relatives à la fonction f et à la « perturbation » de la suite soient vérifiées. 

Notes de lecture

Sur François Viète (une historiette de Tallemant des Réaux) par Jean –Paul TRUC
Dans ses historiettes, écrites vers 1657 et 1658, Tallemant brosse une série de portraits de personnages qui ont marqué le règne d’Henri IV et celui de Louis XIII. Comme Monmerqué l’écrit dans sa notice, « il raconte avec une blâmable complaisance des anecdotes scandaleuses, et il foule aux pieds des bienséances qui doivent toujours être respectées… », sauf bien sûr en ce qui concerne François Viète, dont Tallemant parle avec une sincère admiration. Sans doute à cause de leur caractère parfois grivois, et sans compromis pour la réputation de certaines personnes de la cour, les historiettes de Tallemant ne seront publiées pour la première fois qu’en 1834,
avec quelques coupes.

Le système de chiffrage AES par Patrick David
Dans cet article, nous présentons le système de chiffrage AES, (Advanced Encryption System) ainsi que sa programmation dans le langage Python. Cet article utilise les outils définis dans un article précédent : l’étude de l’anneau des polynômes F2[X] et le corps F256, ainsi que leurs constructions à l’aide de classes Python.

Quelques aspects sur une généralisation des suites de Fibonacci par Alain PICHEREAU
Dans [3] il a été vu que pour tout nombre premier p ≥ 5, 2p divise Fn+2p −Fn+p−Fn où (Fn)n∈N est la suite de Fibonacci initialisée par F0 = 0, F1 = 1. Dominique Guillaume a alors remarqué que ce résultat devait être vrai pour toute suite (S) = (Sn)n∈N vérifiant Sn+2 = ASn+1+BSn, avec A,B deux constantes entières non nulles et S0, S1 entiers. Un des buts de cet article est de justifier cette conjecture et d’en donner deux applications.
D’autres résultats sur les suites de Fibonacci se généralisant aux suites (S) seront donnés, ainsi qu’un lien entre deux suites (S) particulières et les polynômes de Tchebychev.

Outre Manche par Roger Mansuy
Même si Albion est perfide et que le quinze de la rose reste notre adversaire héréditaire, on doit reconnaître que l’Angleterre a fournit quelques grands mathématiciens. Retours en médailles sur ces illustres qui nous feraient presque pardonner Waterloo. 

Le coin des problèmes par Pierre Bornsztein
Cette rubrique entend proposer des énoncés brefs et attractifs, dans le style des compétitions mathématiques, mais de difficulté plus ou moins grande, et sans contrainte de niveau. Il suffit qu’un problème vous ait semblé « plaisant et délectable », vous ait fait chercher…