Numéro 114

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Le numéro 114 de QUADRATURE  vient de paraître :
Notre image de couverture est un hommage à Évariste Galois.  J’ai en effet le plaisir d’accueillir dans notre forum Olivier Courcelle, que les anciens lecteurs connaissent bien. Olivier nous fera partager l’émotion du public qui a assisté à la journée Galois du 28 juin dernier. Comme promis, les amateurs de Python seront gâtés dans ce numéro, avec le premier des articles de Patrick David (ENSEA) qui traite de la construction du corps fini à 256 éléments. Les applications à la cryptographie seront abordées dans notre numéro de janvier. Les amateurs d’Analyse ne sont pas oubliés non plus, avec notamment un article très intéressant de Bernard Brighi (Université de Haute-Alsace) sur le théorème d’Abel. Je vous laisse découvrir la suite !

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Description

Forum
Journée Galois 2019

Textes en questions :
Les textes empruntés à l’histoire des mathématiques font notre actualité.

Envers et contre-exemples par Bertrand HAUCHECORNE
Ces paradoxes qui ébranlèrent les mathématiques.
Kurt Hensel et les nombres p-adiques.

Comment permuter les décimales d’un réel ? par  Erik THOMAS
Dans cet article, nous étudions la régularité des fonctions qui  « permutent » les décimales d’un réel compris entre 0 et 1. Nous donnerons aussi une condition nécessaire et suffisante pour qu’une telle application soit continue.

Notes de lecture

44 nombres premiers consécutivement ! par Pierre Germain LACOUR
La formule d’Euler x2+x+41 fournit 40 nombres premiers pour x entier allant de 0 a 39. Cette formule célèbre a été suivie de beaucoup d’études et même en 2006 d’un concours international. L’auteur expose ici les recherches qui l’ont conduit à trouver une autre formule donnant 44 nombres premiers, ce qui depasse les formules analogues connues.

Construction du corps fini à 256 éléments en Python par Patrick DAVID
On utilise trés fréquemment en codage et en cryptographie le découpage en octets. Une structure élémentaire de l’ensemble des 256 valeurs possibles pour un octet est l’anneau Z/256Z. Cet anneau n’est pas un corps ce qui peut limiter son usage. Mais comme 256=28 est une puissance du nombre premier 2, il est également possible de conférer à l’ensemble des octets valeurs prises par les octets une structure de corps commutatif. Ce corps F256, à bien distinguer de Z/256Z, est unique à isomorphisme près. Il est utilisé en codage et en cryptographie et en particulier dans l’algorithme de chiffrement AES qui sera présente dans un prochain article. On présente ici quelques propriétes générales des corps finis ainsi qu’une implémentation du corps F256 avec les classes de Python.

Variations autour d’une limite par Olivier BORDELLES, Josef  BUCAK et Jean-Paul TRUC
Un problème de calcul de limite nous emmène à la découverte du théorème de Otto  Stolz, sans oublier pour autant les techniques classiques de l’Analyse.

Reverie jacobienne par Mauricio Garay

De l’aléa chez les nombres premiers par Roger Mansuy
Avec la présentation d’une construction bien connue des spécialistes des graphes dénombrables, on illustre une autre apparition d’un comportement aléatoire dans la répartition des nombres premiers.

Sur un théorème d’Abel et certaines de ses applications par Bernard Brighi
Nous nous intéressons au théorème d’Abel sur la convergence des séries et à ses applications aux séries trigonométriques, de Dirichlet et de Hardy. Nous montrons également comment la majoration du reste, que donne le théorème d’Abel, permet d’obtenir des équivalents de certaines séries trigonométriques.

Le coin des problèmes par Pierre Bornsztein
Cette rubrique entend proposer des énoncés brefs et attractifs, dans le style des compétitions mathématiques, mais de difficulté plus ou moins grande, et sans contrainte de niveau. Il suffit qu’un problème vous ait semblé « plaisant et délectable », vous ait fait chercher…