Numéro 87-Janvier-février-mars 2013

 Le numéro 87 de QUADRATURE (janvier-février-mars 2013)
est disponible sur le site quadrature.info
En voici le sommaire :
Forum
Pages  d’actualité des mathématiques
La géométrie des lumières à la belle  époque
Par Mauricio GARAY
Résumé de l’épisode  précédent  :  Au cours de l’année 1905, Poincaré et Einstein découvrent
que  l’espace-temps se caractérise par une géométrie dans laquelle les distances ne se calculent pas
comme dans la géométrie classique.
Textes en questions
Par Norbert VERDIER et Christian GÉRINI
(avec  la collaboration de Jérôme SEGAL)
Les  textes empruntés à l’histoire des mathématiques font notre actualité.
Envers et contre-exemples
Par Bertrand HAUCHECORNE
Qu’il soit rebelle ou impertinent, pédagogique ou fondamental, le contre-exemple montre
les forces et les limites d’une théorie. Combien de fois n’a-t-il pas ébranlé des idées qui semblaient pourtant établies ?
Sommes Partielles de Coefficients Binomiaux
Par Olivier BORDELLÈS
Cette note établit quelques majorations ainsi qu’une minoration pour les sommes partielles
du  théorème binomial. Les outils utilisés puisent parmi les nombreuses identités combinatoires
des  tables de Gould ou empruntent des résultats puissants de la théorie des probabilités.
Une application en théorie multiplicative  des nombres est également proposée.
Jouons un peu…
… à DOBBLE !
Par Marie et David HÉZARD
Dans cet article, nous nous intéressons au jeu DOBBLE. Après en avoir présenté le principe,
nous ferons, dans un premier temps, des raisonnements de combinatoire élémentaires
sur le jeu, puis nous parlerons de jeu optimal en utilisant des résultats de base d’arithmétique
(identité  de BÉZOUT) sur les corps finis de cardinal premier.
Dans un deuxième temps, nous parlerons des plans projectifs finis (qui sont autant de jeux
DOBBLE !), qui nous permettront de construire explicitement des jeux DOBBLE optimaux.
Cartomagie : principes de Gilbreath (III)
Par Aimé LACHAL et Pierre SCHOTT
Les principes magiques de   Gilbreath permettent, à partir d’un jeu de cartes préalablement
classé  de garder, après un mélange américain, ses propriétés de classement par bloc
de cartes  mais de façon éventuellement désordonnée (les cartes d’un même bloc n’étant plus
dans  l’ordre du classement initial). De telles propriétés permettent de voir se réaliser
des prédictions  malgré un vrai mélange !
Nous avons proposé dans deux volets parus dans les numéros précédents de Quadrature
un calcul de dénombrement des mélanges américains possibles ainsi que plusieurs tours
de magie reposant sur les principes magiques de Gilbreath. Dans ce dernier volet,
nousfournissons  les démonstrations détaillées de chacun de ces principes.
Le langage des catégories (I)
Par Erwan BILAND
Depuis la fin du XIXe siècle, la rigueur logique occupe une place toujours plus importante
dans les mathématiques ; cette exigence a notamment motivé la formalisation de la théorie
des ensembles. Parallèlement, l’interaction entre algèbre et géométrie a donné naissance
à la topologie algébrique et à un nouvel outil : l’homologie.
Ces deux processus ont mené, au milieu du XXe siècle, à l’invention des catégories.
D’abord imaginées pour mieux fonder les théories homologiques, elles ont ensuite essaimé
dans tous les domaines des mathématiques, et au-delà.
Nous proposons ici une introduction au langage des catégories. Dans un prochain article,
nous l’utiliserons pour parler d’algèbre linéaire, et nous verrons combien il peut être précieux
pour comprendre en profondeur le lien entre matrices et espaces vectoriels.
Notes de lecture
Le Coin des problèmes
Par Pierre BORNSZTEIN
Cette rubrique entend proposer dans chaque numéro des énoncés brefs et attractifs,
dans le style dans le style des compétitions mathématiques,
mais de difficultés plus ou moins grandes, et sans contrainte de niveau.
Il suffit qu’un problème vous ait semblé “plaisant et délectable”, vous ait fait chercher.
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