Numéro 98

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Description

  • Textes en questions
  • Envers et contre-exemples- les corps sont-ils tous commutatifs? : Dans cet article, l’auteur retrace l’historique de la définition de corps et notamment de la pertinence de l’axiome de commutativité dans cette définition.
  • Forum
  • Les mathématiques de la langue – L’approche formelle de : Nous présentons une méthode de modélisation de la langue naturelle qui est fortement basée sur les mathématiques. Cette méthode, appelée “sémantique formelle”, a été initiée par le linguiste américain Richard M. Montague dans les années 1970. Elle utilise des outils mathématiques tels que les langages et grammaires formels, la logique du 1er ordre et la théorie de types. Nous nous proposons de faire découvrir au lecteur tant la sémantique formelle de Montague que les outils mathématiques dont il s’est servi.
  • Notes de lecture
  • La recherche de l’ellipse d’aire maximale inscrite dans un polygone :  La recherche de l’ellipse d’aire maximale inscrite dans un polygone convexe est étudiée par Steiner au XIXe siècle dans le cas d’un triangle. Il a établi des propriétés élémentaires sur l’ellipse portant son nom, comme étant, comme étant la seule inscrite dans un triangle, tangente aux côtés de ce triangle en leur milieu. Pour les triangles et les parallélogrammes, l’idée repose principalement sur l’utilisation des applications affines, laissant le rapport des aires invariant. Une caractérisation précise de l’ellipse d’aire maximale inscrite est donnée par le théorème de Marden dans le cas du triangle. On étend dans un premier temps la propriété des triangles aux parallélogrammes avec un résultat similaire. Pour un quadrilatère quelconque, le résultat ne se généralise malheureusement pas. On opte donc pour une méthode plus calculatoire. L’extension pour un polygone ayant au moins 5 côtés est basée sur le théorème de Brianchon.
  • Des mathématiciens polonais à l’assaut de la machine ENIGMA (I) : Varsovie, 1932, une équipe de mathématiciens est constituée pour accéder à la signification du trafic radiotélégraphique chiffré allemand. Un travail spectaculaire a été accompli pendant dix ans, s’adaptant avec une réactivité remarquable aux évolutions que les Allemands ont fait subir à leurs méthodes de chiffrement. Les travaux se sont poursuivis en France après l’invasion de la Pologne, d’abord près de Paris, puis dans la zone libre après l’occupation du nord de la France. Ils ont pris fin en novembre 1942, date de l’évacuation du PC Cadix au château de Fouzes, situé à Uzès en zone libre. Cette première partie décrit le travail mathématique effectué à Varsovie pour reconstituer le fonctionnement détaillé des machines Enigma militaires.
  • Déplaçons des murs ! : On étudie la dynamique sur les suites finies d’entiers naturels non nuls obtenue par itération d’une application consistant à distribuer la valeur du premier terme sur les termes suivants selon une règle bien précise. Après une étude algorithmique générale, on décrit entièrement la structure des cycles pour cette dynamique.
  • Le coin des problèmes