Numéro 97

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Description

  • Envers et contre-exemples – le théorème de Borel-Lebesgue : Dans cet article, B Hauchecorne retrace l’histoire du célèbre résultat connu sous le nom de “théorème de Borel-Lebesgue”. Il y détaille les contributions de mathématiciens tels Dirichlet, Heine, Darboux, Lebesgue…
  • La quadrature du Yin et du Yang : L’auteur propose une quadrature, basée sur une construction géométrique simple, qui per met, un cercle étant donné, de construire un carré tel que le rapport des aires du carré et du disque soit proche de 1. Dans les deuxième et troisième parties on calcule effectivement la valeur exacte de ce rapport en utilisant une méthode analytique, puis la géométrie du triangle.
  • Toujours le démon de Fibonacci : En complément de la preuve algorithmique du résultat sur la suite de Fibonacci, 10 divise Fn+10 −Fn+5 −Fn, paru récemment dans Quadrature [1], nous montrons ici que l’on a aussi 2p divise Fn+2p − Fn+p − Fn pour tout nombre premier p ≥ 5, résultat encore vrai si on remplace p par une puissance de p dans Fn+2p − Fn+p − Fn.
  • Sur l’accélération de la convergence de la « série de Mādhava-Leibniz » : Cet article présente des résultats très novateurs obtenus entre le milieu du XIVe siècle et le début du XVIe siècle par des astronomes indiens de l’école dite « de Madhava ». Ces résultats, qui s’inscrivent dans le cadre de recherches trigonométriques, concernent la rectification du huitième de circonférence d’un cercle. Ils exposent non seulement un analogue du développement en série de arctan, en général connu sous le nom de « série de Leibniz », mais aussi d’autres analogues de développements en série dont la convergence est beaucoup plus rapide. Ces développements sont dérivés d’évaluations des restes des sommes partielles de la série initiale au moyen de réduites de fractions continues généralisées. Une justification en termes modernes en est fournie, qui vise à en restituer tout l’intérêt mathématique.
  • Cauchy, Schwarz et la combinatoire : Dans cette courte note, on présente quelques applications simples de l’inégalité de Cauchy-Schwarz dans Rn à la géométrie combinatoire et aux graphes.
  • La leçon d’Ettore Majorana à Enrico Fermi : L’équation différentielle non linéaire de Fermi a joué un rôle important dans le développe ment de la physique atomique au début du XXe siècle. Cette équation étant non intégrable, Fermi développa une méthode numérique en ces années où les possibilités mécaniques étaient limitées. Pourtant en quelques heures seulement un jeune étudiant, Ettore Majorana, mit au point une démarche analytique encore obscure à ce jour, qui permettait d’arriver à un résultat approché très satisfaisant. Cet exploit lui valut d’entrer directement dans le groupe de Fermi et de devenir par la suite un acteur majeur de la recherche en physique. En nous appuyant sur des documents originaux jusqu’à présent inexploités, nous tentons de retrouver son cheminement intellectuel.
  • Sur le réarrangement décroissant : Le ré-ordonnement décroissant, pour une fonction définie sur R^d, d ∈ N*, à valeurs réelles, positives, mesurable (au sens de Lebesgue), est un outil magique d’analyse fonctionnelle. On trouve beaucoup de choses à ce sujet dans la littérature existante, toutefois, les démonstrations ne sont pas toujours données dans leur intégralité. La compréhension des techniques de réarrangement devient aussi plus facile dès que l’on fait des dessins ou figures, que l’on trouve rarement.
  • Le coin des problèmes