Numéro 89

8,50 

Description

  • Forum
  •  Courbures : Au terme de l’année 1915, Einstein aboutit à la conclusion que notre espace doit posséder une courbure analogue à celle des surfaces : la Terre n’est pas plate et l’Univers non plus.
  •  Textes en questions
  •  Équation fonctionnelle et déterminant : La détermination des applications continues de R dans R qui vérifient ∀(x,y) ∈ R2, f (x+y) = f (x)+ f (y) s’effectue en deux temps. Par «trafics algébriques», on obtient successivement f (0) = 0, f (n) = n f (1) pour n ∈ Z, f (r) = r pour r ∈ Q, puis par passage à la limite, f (x) = x f (1) pour tout x ∈ R, en utilisant la densité de Q dans R. Les deux étapes sont de nature différente : la première est «mécanique» tandis que la seconde pourrait être qualifiée de «chimique», la continuité servant de catalyseur à la partie dense. Elles se résument par les propositions suivantes : – un morphisme de groupes est entièrement déterminé par l’image de générateurs du groupe – une application continue est entièrement déterminée par l’image d’une partie dense. L’objet de ce texte est de mettre en lumière le parallèle remarquable existant entre les deux énoncés précédents. Le cadre choisi est l’étude des formes multiplicatives de Mn(K), c’est-à-dire des fonctions f de Mn(K) dans K vérifiant f (AB) = f (A) f (B) pour toutes matrices A et B de Mn(K). Le théorème principal affirme qu’elles s’expriment à l’aide du déterminant. En corollaire, nous obtenons une caractérisation fonctionnelle du déterminant. Pour mener à bien cette quête du générateur «atomique», qui nous conduira aux matrices de dilatations, nous utiliserons des outils divers tels que la généricité des matrices diagonalisables, les opérations élémentaires et la génération du groupe linéaire par transvections et dilatations.
  •  Polynômes en cascade : On recherche des polynômes qui ont, de même que tous leurs polynômes dérivés (non constants), toutes leurs racines réelles et entières. On donne l’expression générale des polynômes de degré 1, 2 et 3 ayant cette propriété. L’existence de polynôme de degré 4 équivaut à l’existence d’un point rationnel sur une surface algébrique du 12e degré de R3.
  •  Sur le PGCD des entiers du type nr-n : On s’intéresse d’abord au plus grand diviseur commun des entiers 2r – 2, 3r – 3, 4r – 4, … r étant un entier fixé. Après avoir caractérisé cet entier, on fait un lien avec les nombres de Carmichael, puis on donne un algorithme permettant son calcul. Celui-ci permet de déterminer des propriétés de divisibilité. En observant les résultats obtenus pour plusieurs valeurs de r, on découvre que ces pgcd semblent être les dénominateurs des nombres de Bernoulli !, on justifie cette conjecture.
  •  Combien de myriades ? : Les anciens Grecs étaient très empruntés vis-à-vis des grands nombres, aussi bien pour les nommer que pour les écrire. C’est pourquoi Archimède a inventé les myriades de myriades (pour nous 108) pour énoncer les très grands nombres, ce qu’Appolonios de Perga a quelque peu simplifié par la suite. On va voir comment le célèbre Arénaire du premier s’inscrivait dans cette recherche : il s’agissait de montrer que son système fonctionnait !
  • Notes de lecture
  • Envers et contre-exemples : Dans un groupe fini, l’ordre des sous-groupes divise l’ordre du groupe. L’auteur s’intéresse ici à la réciproque : étant donné un diviseur de l’ordre d’un groupe, existe-t-il un sous-groupe de cet ordre?
  • Calculs optimaux des développements limités : Il arrive assez souvent que l’on obtienne des développements limités à partir d’opérations élémentaires (somme, produit, puissance, etc.) sur d’autres développements limités. Mais, les calculs ne sont pas toujours optimaux. Dans cet article, on donne une formule qui permet de déterminer les ordres minimaux des développements limités de fonctions dans le but de faire un calcul optimal du développement limité de leur composée. Cette formule nous permet aussi de déterminer une autre formule qui donne l’ordre maximal qu’on peut avoir en développant une composée finie de développements limités d’ordres donnés.
  •  Le Coin des problèmes