Numéro 86

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Description

  • Forum
  • Quatre pages d’actualité des mathématiques
  •  Temps et espace : Les travaux portant sur l’électrodynamique, notamment ceux de Lorentz, conduisirent Poincaré, puis Einstein à modifier notre conception de l’univers en y introduisant le temps ou plutôt « une sorte de temps » comme une variable à part entière. Par là, les savants découvrirent que ce temps si familier est une composante bien difficile à saisir.
  •  Envers et contre-exemples – Le théorème de Cayley-Hamilton et les invariants de similitude : Avoir les mêmes polynômes minimaux et caractéristiques est insuffisant pour caractériser une classe de similitude.
  •  Initiation à la calculabilité : Le problème de savoir si un système d’équations diophantiennes, c’est-à-dire polynomiales et à solutions entières, a des solutions n’a a priori rien à voir avec les bugs des logiciels informatiques. La théorie de la calculabilité établit pourtant un lien : un résultat classique est que savoir si un système d’équations diophantiennes a une solution est un problème du même type que déterminer si un programme informatique va atteindre un certain état.
  • Cédric Villani dans “l’erreur” : Nous avons pu rencontrer Cédric Villani dans les coulisses de la MC2, à l’occasion de sa conférence « La meilleure et la pire des erreurs de Poincaré », organisée par la SMF, l’Université Joseph Fourier, et le CNRS.
  •  Cartomagie : principes de Gilbreath (II) – Quelques applications : Les principes magiques de Gilbreath permettent, à partir d’un jeu de cartes préalablement classé de garder, après un mélange américain, ses propriétés de classement par bloc de cartes mais de façon éventuellement désordonnée (les cartes d’un même bloc n’étant plus dans l’ordre du classement initial). De telles propriétés permettent de voir se réaliser des prédictions malgré un vrai mélange ! Nous avons proposé dans un premier volet paru dans le numéro précédent de Quadrature un calcul de dénombrement des mélanges américains possibles ainsi qu’un algorithme permettant de les réaliser à partir d’un jeu de cartes donné. Dans ce second volet, nous donnons des applications des mélanges américains fondées sur les principes magiques de Gilbreath. Pour chacun d’entre eux, nous présentons un tour de magie. Les démonstrations de ces principes font l’objet d’un dernier volet qui apparaîtra dans le prochain numéro.
  • Somme de carrés, descente infinie et théorème d’Aubry: Le théorème d’Aubry stipule que si un entier est la somme de deux carrés de rationnels, il est également la somme de deux carrés entiers. Dans cet article l’auteur étudie les origines de ce résultat, de Diophante à Gauss, avant d’en donner une démonstration. Le résultat est généralisé au cas de quatre carrés, ce qui nous conduit à un théorème plus récent sur les formes quadratiques, connu sous le nom de théorème de Davenport-Cassels.
  • Notes de lecture
  •  Le Coin des problèmes