Numéro 110

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Description

Forum
Avec notamment le portrait d’un mathématicien par un peintre canadien, la cérémonie de remise du Prix Fermat Junior à Toulouse, la journée Evariste Galois et l’école d’été « Mathematical  Summer in Paris ».

Textes en questions par Norbert VERDIER et Christian GÉRINI
Les textes empruntés à l’histoire des mathématiques font notre actualité

Envers et contre-exemples par Bertrand HAUCHECORNE
Les axiomes de groupes
Qu’il soit rebelle ou impertinent, pédagogique ou fondamental, le contre-exemple montre les forces et les limites d’une théorie. Combien de fois n’a-t-il pas ébranlé des idées qui semblaient pourtant établies ?

Naissance d’un mathématicien : Joseph Bertrand par Roland BRASSEUR
Cet article présente les débuts du mathématicien Joseph Bertrand (1822-1900), enfant prodige, reçu premier à Polytechnique en 1839 et agrégé des collèges à dix-neuf ans.

Etude de morphismes et plongements entre groupes de permutations
par Charlie HERENT
Dans cet article nous étudions la structure des morphismes et plongements (morphismes injectifs) entre groupes de permutations d’ensembles finis1 afin d’en estimer leur nombre.
Nous connaissons déjà ces nombres dans certains cas : en particulier celui des morphismes de Sn dans Sm avec n m ou encore l’impossibilité de plonger Sn dans An+1 dès que n est un entier supérieur ou égal à 2 d’après [5].
Nous proposons ici un travail qui va permettre d’estimer leur nombre dans les cas où mn.
En conséquence de cette recherche, nous proposons notamment des formules donnant le nombre exact de sous-groupes isomorphes à S3, V , A4 dans les groupes Sm ou Am pour m ∈ N∗. Puis, dans le cas général, nous donnons un encadrement de ce nombre pour les groupes isomorphes à Sn ou An dans Sm ou Am avec mn grâce aux formules découvertes dans les cas particuliers.

De l’inégalité de Bernoulli par Frédéric Paul
Partant de l’inégalité de Bernoulli, on définit de manière élémentaire les fonctions exponentielle et logarithme et l’on retrouve certaines de leurs propriétés. C’est aussi l’occasion  d’établir l’inégalité arithmético-géométrique ainsi que l’inégalité de Maclaurin.

Méthode de Sturm pour déterminer le nombre de racines réelles d’un polynôme de degré 4 par Patrick David et Julien  Sautier
En 1836, dans le journal Le Géomètre était posée la question suivante : Trouver par le moyen du théorème de Sturm, les relations qui doivent exister entre les coefficients de l’équation :
x4+ px2+qx+r = 0 à coefficients réels pour déterminer le nombre de racines réelles. Elle est restée sans réponse. Nous détaillons dans ce qui suit ces relations dans les différents cas.

Notes de lecture

Le coin des problèmes par Pierre Bornsztein
Cette rubrique entend proposer des énoncés brefs et attractifs, dans le style des compétitions mathématiques, mais de difficulté plus ou moins grande, et sans contrainte de niveau. Il suffit qu’un problème vous ait semblé « plaisant et délectable », vous ait fait chercher…