Numéro 101

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Description

  • Forum : Andrew Wiles, lauréat du prix Abel. Journée Sophie Germain à l’Institut Henri Poincaré, projet Matlan.
  • Textes en questions (par Norbert VERDIER et Christian Gérini) : Les textes empruntés à l’histoire des mathématiques font notre actualité.
  • Envers et contre-exemples – Le théorème de Dini (par Bertrand Hauchecorne) : Qu’il soit rebelle ou impertinent, pédagogique ou fondamental, le contre-exemple montre les forces et les limites d’une théorie. Combien de fois n’a-t-il pas ébranlé des idées qui semblaient pourtant établies ?
  • Grothendieck et l’Analyse Fonctionnelle (par Hervé Queffélec) : Le texte qui suit se veut un texte « d’Histoire des Maths ». Dans “Histoire des Maths”, il y a “Maths”, et l’auteur est plus matheux qu’historien. Il insistera donc, avec une ou deux preuves mathématiques détaillées et un court Appendice, sur un tout petit aspect scientifique de l’œuvre gigantesque de Grothendieck.
  • Périodes de la suite de Fibonacci réduite (par Claude Morin) : Soit (Fn) la suite de Fibonacci définie par F0 = 0, F1 = 1 et Fn+2 = Fn+1 +Fn. Pour tout entier m ≥ 2, la suite de Fibonacci réduite modulo m, notée Fn, est périodique. Nous noterons T(m) sa période et T0(m) la période de répétition de 0 dans cette suite modulo m. Par exemple, pour m = 3 on obtient (0,1,1,2,0,2,2,1,0,1, …) modulo 3, donc T0(3) = 4et T(3) = 8. Le but de cet article est de démontrer :
    – T(m) ≤ 6m avec égalité si et seulement si m = 2×5k,k ≥ 1.
    – T0(m) ≤ 2m avec égalité si et seulement si m = 6×5k,k ≥ 0.
  • Polynôme minimal d’un nombre algébrique (Par Gabriel Thomas) : Cet article présente des méthodes effectives de calcul du polynôme minimal de combinaisons finies de nombres algébriques. Le corps de base est Q. Nous exposons d’abord le cas d’une fraction rationnelle q(〈) où 〈 est algébrique sur Q, puis celui d’une fraction rationnelle de Q[X1,X2, …,Xn], évaluée en un n-uplet de nombres algébriques.
  • Du binôme de Newton à l’identité d’Appell (Par Laurent Bartholdi et Pierre-Alain Sallard) : Une suite d’Appell est une suite (Bn)n∈N de polynômes vérifiant la relation B’n+1 =(n+1)Bn. Les monômes, les polynômes de Bernoulli et les polynômes d’Hermite sont des exemples classiques de suites d’Appell. Toute suite d’Appell vérifie une identité d’Appell, qui apparaît comme une généralisation de la célèbre formule du binôme de Newton. Dans cet article, l’identité d’Appell est établie dans le cadre général de polynômes à coefficients dans un anneau commutatif de caractéristique nulle. On montre par un contre-exemple que cette identité n’est pas nécessairement vérifiée si les polynômes d’Appell sont à coefficients dans un anneau de caractéristique non nulle.
  • Trois faces de Leibniz (par Roger Mansuy) : Leibniz a eu une vie riche avec de nombreuses réussites, des responsabilités diverses et a suscité quelques polémiques et querelles. Les médailles qui l’honorent sont nombreuses et rendent compte des différents aspects de son parcours ; retour sur trois d’entre elles d’époques et de styles différents.
  • Une approche intuitive des nombres hyperréels (par Marie-Pierre Falissard) : On décrit ici, sans lourde formalisation, les nombres hyperréels, extension naturelle des nombres réels inventée au XXe siècle. Bien qu’utilisés de façon encore confidentielle, ces nombres présentent un intérêt au minimum pédagogique, puisqu’ils permettent de réexposer les bases de l’analyse sous une forme plus intuitive, et de manipuler commodément l’infiniment grand et l’infiniment petit.
  • “À la Herschel” (par L.G. Vidiani) : Le but de ce petit article est de rappeler ce qu’est le dénumérant et d’expliquer ce que signifie ce développement « à la HERSCHEL ».
  • Notes de lecture – Des fonctions … pas si particulières que ça : celles de Lambert, Gudermann et Airy : Nous montrons comment l’Analyse de niveau Bac à Bac + 2 permet d’introduire et d’étudier en détail des fonctions que l’on pourrait ranger dans la boîte à outils des fonctions dites usuelles, au même titre que les fonctions trigonométriques ou hyperboliques réciproques.
  • Le coin des problèmes (par Pierre Bornsztein) : Cette rubrique entend proposer des énoncés brefs et attractifs, dans le style des compétitions mathématiques, mais de difficulté plus ou moins grande, et sans contrainte de niveau. Il suffit qu’un problème vous ait semblé « plaisant et délectable », vous ait fait chercher…